Analisi 1: Lo studio dei limiti e l'andamento all'infinito.

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Analisi 1: Calcolo del campo d'esistenza

Innanzitutto diciamo che si dice CAMPO D'ESISTENZA di una funzione y = f(x) l'insieme di tutti i valori della variabile indipendente x per i quali corrispondono valori reali e definiti della y.

La questione è molto semplice e verrà chiarita con degli ESERCIZI SVOLTI.
Calcolare il campo d'esistenza di:
1) y = 2x + 3 : il c.d.e. è tutto il campo reale (se pensate la funzione come una "macchinetta" essa vi restituisce sempre un risultato per qualsiasi valore voi gli buttiate dentro attraverso la x!)
2) y = x² + x + 2 : il c.d.e. è tutto il campo reale.
3) y = 5 / (x - 3) : il c.d.e. è tutto il campo reale tranne i valori per i quali il denominatore si annulla (infatti se il denominatore è zero, la "macchinetta" non vi restituisce nessun risultato!).
Per trovare quei valori imposto che x - 3 = 0 cioè x = 3; quindi la funzione è definita nell'intero campo reale tranne che per x = 3.
4) y = 1 / senx : come sopra devo impostare senx = 0 la quale però è una funzione periodica quindi avrò x = kπ , con k = 0, 1, 2, 3, ...
5) y = √(x² - 5x + 6) : sarà definita per quei valori di x per i quali il radicando risulta positivo o al massimo uguale a zero, cioè per x² - 5x + 6 ≥ 0 ossia per tutti i valori di x esterni all'intervallo (2,3), estremi inclusi.
6) y = log (x -1) : tenendo presente che nel campo reale non esistono i logaritmi dei numeri negativi, sarà definita per tutti i valori di x per cui x - 1 > 0 , e quindi il c.d.e. di questa funzione è x > 1.

ESERCIZI PROPOSTI:
1) y = 2x - 2
2) y = 2x³ - 5x² + 3x + 2
3) y = (2x + 1) / (x² - 3x + 2)
4) y = (3x - 2) / (x² - 4)
5) y = √ (1 - 5x)
6) y = √ (x + 3)
7) x² + y² = 9
8) y = log (3x - 1)
9) y = senx + cosx
10) y = tanx + logx
11) y = 1/tanx
12) y = 1/senx
13) 2x + 3 / √ (x - 2)

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI:
1) R
2) R
3) R - {1, 2}
4) R - {2, -2}
5) x ≤ 1/5
6) x ≥ 3
7) -3 ≤ x ≤ 3
8) x > 1/3
9) R
10) x =/ (è diverso da) 3/2 π + kπ
11) x =/ kπ
12) x =/ 2kπ
13) x > 2

Capitolo 1: L' "algoritmo" per lo studio di funzione.

Prerequisiti: saper eseguire i limiti, saper eseguire le derivate.
Teoremi da sapere: Th. di Weierstrass, Th. di Fermat, Th. di Rolle.

Innanzitutto risulta utile definire un algoritmo di operazioni da eseguire che per le prime volte risulta essere molto utile nello studio di funzione:

1. DOMINIO: è fondamentale iniziare a studiare il campo di esistenza della funzione presa in esame perchè dobbiamo essere in grado in ogni momento di poter dire se il grafico che stiamo tracciando è corretto. CONSIGLIO: quando disegnate gli assi cartesiani sbarrate subito le zone dove la funzione NON può passare.
2. EVENTUALI SIMMETRIE: si verifica al volo vedendo se la funzione è pari, cioè se f(-x) = f(x) e quindi simmetrica, o è dispari, cioè f(-x) = -f(x), e quindi è antisimmetrica.
3. STUDIO DEL SEGNO: all'inizio i passaggi vanno sempre svolti tutti passo passo, ma iniziate già a notare che il consiglio di sbarrare le zone dove la funzione non può passare è già una sorta di segno per la mia funzione, il problema è che a volte c'è veramente bisogno di studiare il segno a parte poichè la funzione non presenta particolarità evidenti.
4. STUDIO DEI LIMITI: è fondamentale per valutare la continuità della mia funzione nel suo campo d'esistenza e calcolerò quindi i limiti alla ricerca di discontinuità (e quindi di asintoti) nei punti in cui ho più probabilità di trovarli e all'infinito (sia + che - infinito!) per sapere l'andamento qualitativo della funzione alle estremità del grafico.
5. STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA: la derivata è l'indicatore dell'andamento della funzione madre attraverso lo studio del suo segno; con derivata prima positiva ho un andamento crescente, con derivata prima negativa ho andamento decrescente, con derivata prima nulla, ho un punto di massimo o di minimo relativo. Ricordarsi di studiare le eventuali discontinuità della derivata prima che mi originano punti angolosi, cuspidi o asintoti orizzontali.
6. STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA: la derivata è sempre lo stesso operatore! La derivata seconda quindi mi offre l'andamento della derivata prima, ma dell'andamento della derivata prima ce ne facciamo ben poco perchè io sto disegnando la mia funzione madre; se ci pensate bene però il segno della derivata seconda è l'andamento dell'andamento della funzione madre e quindi il segno della derivata seconda mi offre la concavità della funzione madre.
   A derivata seconda positiva corrisponde funzione convessa (sorriso), a derivata seconda negativa corrisponde funzione negativa (broncio), a derivata seconda nulla corrisponde un punto di flesso.
7. DISEGNARE LA FUNZIONE.

INTRODUZIONE

Questo sito è pensato per tutti coloro che hanno bisogno di una guida ed un aiuto per addentrarsi nel mondo dell' analisi matematica e dell' algebra lineare e, successivamente con l'avanzare del mio corso di studi, della meccanica in generale. Una sorta di manuale o vademecum del buon costruttore, il tutto on line completamente free.

Iniziamo quindi dall'analisi 1, il primo grande scoglio per tutti i laureandi in ingegneria. Il corso ha l'intenzione di avere una struttura universitaria con una serie di capitoli e di esercizi svolti, naturalmente la mia idea è quella di fare dei piccoli richiami in pillole di teoria (presupponendo che un libro ce l'abbiate e l'abbiate anche aperto..) e concentrarmi soprattutto sul COME si svolgono gli esercizi perchè la vera difficoltà è superare lo scritto perchè per l'orale c'è solo da studiare.

La mia email è maxgat88@gmail.com se avete problemi particolari o dubbi di cui io non parlo scrivetemi pure, sarò felice di aiutarvi fin quando posso.